بزرگترین مقسوم‌علیه مشترک (ب.م.م) سه عدد 48، 60 و 72 را پیدا کنید. به عبارت دیگر، بزرگترین عددی که هر سه عدد فوق بر آن بخش‌پذیر باشند را تعیین کنید. 🤔
روش اول: تجزیه به عوامل اول 🌟
در این روش، ابتدا هر یک از اعداد را به عوامل اول خود تجزیه می‌کنیم. سپس، عواملی که در تمام تجزیه‌ها مشترک هستند را پیدا کرده و آن‌ها را در هم ضرب می‌کنیم. حاصل ضرب این عوامل، ب.م.م خواهد بود.
تجزیه 48: 48 = 24 × 3 💫
تجزیه 60: 60 = 22 × 3 × 5 ✨
تجزیه 72: 72 = 23 × 32 💖
عوامل مشترک در تمام تجزیه‌ها عبارتند از: 2 و 3.
بنابراین، ب.م.م(48, 60, 72) = 22 × 3 = 12 🎉
عدد
تجزیه به عوامل اول
48
24 × 3
60
22 × 3 × 5
72
23 × 32
روش دوم: استفاده از الگوریتم اقلیدسی (به صورت متوالی) 💡
الگوریتم اقلیدسی یک روش کارآمد برای یافتن ب.م.م دو عدد است. برای یافتن ب.م.م سه عدد، می‌توان این الگوریتم را به صورت متوالی اعمال کرد.
ابتدا ب.م.م(48, 60) را پیدا می‌کنیم:
60 = 1 × 48 + 12
48 = 4 × 12 + 0
بنابراین، ب.م.م(48, 60) = 12
سپس ب.م.م(12, 72) را پیدا می‌کنیم:
72 = 6 × 12 + 0
بنابراین، ب.م.م(12, 72) = 12
در نتیجه، ب.م.م(48, 60, 72) = 12 ✅
روش سوم: لیست کردن مقسوم‌علیه‌های مشترک 🔍
در این روش، ابتدا تمام مقسوم‌علیه‌های هر یک از اعداد را لیست می‌کنیم. سپس، مقسوم‌علیه‌هایی که در تمام لیست‌ها مشترک هستند را پیدا کرده و بزرگترین آن‌ها را به عنوان ب.م.م انتخاب می‌کنیم.
مقسوم‌علیه‌های مشترک در تمام لیست‌ها عبارتند از: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
بزرگترین مقسوم‌علیه مشترک، 12 است. 🎉
توضیحات تکمیلی و علمی:
بزرگترین مقسوم‌علیه مشترک (ب.م.م) یک مفهوم اساسی در نظریه اعداد است. این عدد، بزرگترین عددی است که تمام اعداد مورد نظر را بدون باقی‌مانده تقسیم می‌کند. ب.م.م کاربردهای فراوانی در ریاضیات و علوم کامپیوتر دارد، از جمله ساده کردن کسرها، حل معادلات دیوفانتی و رمزنگاری.
روش تجزیه به عوامل اول بر اساس قضیه اساسی حساب (Fundamental Theorem of Arithmetic) استوار است که بیان می‌کند هر عدد صحیح بزرگتر از 1 را می‌توان به طور یکتا به صورت حاصل ضرب اعداد اول نوشت. با مقایسه تجزیه‌های اعداد مختلف، می‌توان ب.م.م آن‌ها را به راحتی پیدا کرد.
الگوریتم اقلیدسی یکی از قدیمی‌ترین و کارآمدترین الگوریتم‌های ریاضی است. این الگوریتم بر اساس اصل تقسیم با باقی‌مانده بنا شده است. در هر مرحله، عدد بزرگتر را بر عدد کوچکتر تقسیم می‌کنیم و باقی‌مانده را به عنوان عدد کوچکتر جدید در نظر می‌گیریم. این فرآیند تا زمانی که باقی‌مانده برابر با صفر شود ادامه پیدا می‌کند. آخرین مقسوم‌علیه غیرصفر، ب.م.م دو عدد اصلی است.